冯云成 陈华林 王学军 张汉卿

中交第一公路勘察设计研究院有限公司

摘 要：悬索桥主缆钢丝或索股绕过主索鞍、散索鞍、锚靴等固定半径的转向装置时会产生弯曲应力。AS法特有构件锚靴的索槽半径更小，所产生的弯曲应力会接近甚至超过钢丝的屈服应力。分析了钢丝在索槽内的受力变化情况，并将钢丝的本构关系简化为双折线强化模型，按照屈服破坏准则和强度准则两种方法分析了锚靴半径对缆索承载能力的影响。结果表明，按照屈服准则时，钢丝或索股绕过锚靴等转向装置后的抗拉能力没有降低；按强度准则时，当锚靴索槽底面弯曲半径与钢丝直径之比不小于70时，钢丝或索股的破断力下降不足3.5%。考虑到缆索钢丝分项系数为1.85,因此锚靴处的小弯曲半径引起的弯曲应力对缆索承载能力的影响很小。

关键词：悬索桥;塑性应变;弯曲应力;锚靴;缆索承载力;

1 研究背景

悬索桥主缆一般由中等直径高强度钢丝组成。由于主缆跨度相对很大，若假定其无弯曲刚度，则按纯受拉的柔性索计算能够满足工程应用。但实际上，在主索鞍、散索鞍、空中纺线法(AS法)的锚靴处存在弯曲应力，特别是在AS法特有构件锚靴处，主缆钢丝的弯曲半径很小，引起的弯曲应力会接近甚至超过钢丝的屈服应力。

AS法的钢丝索股是通过锚靴锚固到锚碇上的，锚靴索槽的半径很小，会给此处的钢丝产生很大的弯曲应力。例如，贵州省阳宝山大桥的锚靴索槽底面的半径为400 mm, 主缆钢丝直径为5.35 mm, 标准抗拉强度为1 860 MPa[1],在钢丝中产生的弯曲应力达到1 337.5 MPa, 已超过了钢丝的强度设计值905 MPa[2],接近屈服强度；大带东桥的锚靴索槽的半径为400 mm, 主缆钢丝直径为5.38 mm, 标准抗拉强度为1 570 MPa, 在钢丝中产生的弯曲应力达到1 345 MPa, 已超过了钢丝的强度设计值和屈服应力[3]。但从悬索桥采用AS法架设主缆超过120年的历史看，这种大的弯曲应力并未影响到结构的安全。

日本学者通过试验研究了弯曲应力对钢丝束抗拉强度的影响，认为钢丝束的破断发生在直线段，弯曲不会导致承载力降低[4]。阳宝山大桥建设中进行了单丝和索股的抗拉试验，也发现钢丝的破断发生在直线段。《公路悬索桥设计规范》[12]规定锚靴索槽底部半径不应小于钢丝直径的70倍。基于锚靴与钢丝的相互作用机理，并考虑钢丝塑性，将钢丝的本构关系简化为双折线强化模型，以研究锚靴半径对主缆承载能力的影响，分析锚靴半径引起的弯曲应力对缆索承载力的影响。

2 索股与锚靴的传力机理

2.1索股钢丝在锚靴索槽内的布置

采用AS法架设的主缆索股由无端头钢丝环绕而成，在锚固端绕在锚靴上，通过锚靴将索股拉力传递到钢拉杆，再由钢拉杆通过预应力系统或钢框架锚固系统传递到锚体，如图1所示。

图1 索股通过锚靴的传力机理

锚靴是主缆采用AS法架设的悬索桥中特殊构件，将索股与锚固钢拉杆连接起来，起到转向、连接和传力的作用。为使锚靴受力均衡，一个股靴对称设置2个索槽。索槽尺寸应满足索股钢丝排列和受力的要求，股靴索槽底的半径为R0,底部布置n根钢丝，共m层。

设锚靴索槽底部的半径为R0,则第一层钢丝的弯曲半径为R1=R0+d/2,d为钢丝直径。第二层至第m层钢丝呈梅花形布置，则第i层钢丝的弯曲半径Ri为：

Ri=R0+12d+(i−1)3√2d         (1)Ri=R0+12d+(i-1)32d         (1)

整个索股的弯曲半径为组成索股的钢丝形心的半径，设为Rc。

当对索股施加拉力时，锚靴对索股提供支撑，使索股钢丝保持固定的弯曲半径，索股与锚靴之间存在径向压力和接触面间的摩阻力，钢丝与钢丝之间存在挤压力。

主缆钢丝绕过锚靴时，弯曲状态受到索槽半径的限制为固定曲率，具有固定半径的曲线支承。主缆钢丝的弯曲应力由式(2)求得。

σw=Ed2Rw         (2)σw=Ed2Rw         (2)

式中：d为钢丝直径；Rw为钢丝的弯曲半径；E为钢丝的弹性模量，E=200 000 MPa。

2.2索股在锚靴索槽内的拉力

索股(或钢丝)绕过锚靴索槽承受拉力时，由于存在摩阻力，因此索股拉力沿索槽是变化的。索股或钢丝在索槽出入端的张力相同，根据对称性，索槽中点为不动点。索股在拉力作用下产生伸长变形，索股与锚靴间存在摩擦力。这种摩擦力按静摩擦力计，设摩擦系数为μ,则索股与股靴间在点S处的单位线摩阻力Fw为：

由式(3)可知，索股与锚靴间的摩擦力与径向力成正比，沿锚靴索槽的分布规律为对数螺旋线，如图2所示。

图2 索股拉力及摩阻力沿索槽分布曲线

相应地，在点S处，索股拉力Tc(s)为：

索股在锚靴起点(0)、中点(z)处的拉力为：

式中：Tc(s)为索股或钢丝在点S处的拉力；Tc为索股或钢丝出锚靴槽口端部处的拉力；αs为点S处的包角，起点在索股出入股靴点处；α为索股在股靴凹槽上包角的一半。

上述公式也适用于单根钢丝。由式(4)～式(6)可知，在转向装置的索槽端口处索力最大，与直线段相等时为Tc,在中点处最小。当μ=0.15、α=45°时，锚靴中间处索股或钢丝的拉力为索槽端口直线段的89%。由上述分析可知，索股钢丝在索槽端口的拉力最大，与直线段相等。

2.3索股对锚靴的径向压力

锚靴对索股的径向线支承力与索股对锚靴的径向线压力是一对作用与反作用力。索股或钢丝对锚靴的径向线压力Fj(s)与其弯曲半径R有关，其计算公式为：

式中：R为弯曲半径，对索股为Rc,对钢丝为Ri。

当μ=0.15、α=45°时，锚靴中间处索股或钢丝的线压力为索槽端口直线段的89%。

3 转向装置内钢丝承载能力分析

根据《公路悬索桥设计规范》[12]第9.4.2款的规定，主缆钢丝的的应力设计值应符合下式要求：

γ0σd≤fd (8)

fd=fkγR         (9)fd=fkγR         (9)

式中：σd为主缆钢丝的应力设计值；γ0为结构重要性系数，取值为1.1;fd为钢丝抗拉强度设计值；fk为钢丝抗拉强度标准值；γR为材料强度分项系数，取值为1.85,由于主缆为Ⅰ级松弛，需除以0.9。

3.1高强钢丝的本构关系

《桥梁缆索用热镀锌或锌铝合金钢丝》(GB/T 17101)中要求镀锌高强度钢丝的破断延伸率不小于4%。钢丝属于硬钢，没有明显的屈服平台，具有屈服后硬化的性能，其应力～应变曲线如图3(a)所示。为计算方便，其应力～应变曲线简单地用双折线表示，图3(b)为不考虑屈服后的强度增长曲线，即理想弹塑性材料的应力～应变曲线。图3(c)为考虑屈服后的强度增长曲线。高强钢丝的本构关系可表示为：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪σ=Eεσ=σy+E1(ε−εy)=σy+E1εxpE1=kE=σu−σyεpε≤εyε>εy         (10){σ=Eεε≤εyσ=σy+E1(ε-εy)=σy+E1εxpε>εyE1=kE=σu-σyεp         (10)

式中：E为弹性模量；E1为硬化模量(对于理想弹塑性材料，E1=0);σy为钢丝的屈服强度；σu为钢丝的抗拉强度标准值，等于fk;εp为对应抗拉强度时的塑性应变；εxp为塑性应变。

图3 高强镀锌钢丝本构关系

常用的主缆钢丝力学性能见表1。在达到屈服应力时，钢丝的弹性应变为0.006 7～0.007 85,不超过0.008。屈服后硬化强度与标准强度之比为屈后强度比β,则：

β=σu−σyσu         (11)β=σu-σyσu         (11)

表1 缆索用高强钢丝强度

MPa

注：表中硬化模量按εp=4%计算。

从表1中可以看出，屈后强度比随着标准强度的增大而增大，其值为0.197 6～0.199 0。因此，可偏安全地取β=0.2。当不考虑屈服后强度时，取β=0。

对于悬索桥主缆用的钢丝，一般均要求做反复弯曲试验，弯曲次数不少于5次，支辊半径为钢丝直径的3倍，无折损现象；同时，要进行缠绕试验，芯棒直径为3d,缠绕至少8圈[13],表面不出现裂纹。由此可以求得钢丝的最大拉应变εu可达到14.28%,若扣除弹性应变，则高强钢丝的塑性应变在13.5%以上，偏安全地取εp=13.5%。拉伸试验时，钢丝的断后延伸率不小于4%,即受拉时的塑性应变不小于4,这说明镀锌钢丝具有较好的塑性和韧性。

从表1可以看出，硬化模量随着标准强度的提高而增大，为弹性模量的1/20.5～1/24.2。

3.2基本假定

在AS法架设主缆过程中，主索鞍、散索鞍、锚靴等转向装置的半径均为固定值。在钢丝受到轴向拉力时，由于受到索槽的限制，钢丝的转动被约束，钢丝将沿索槽确定的路线弯曲，不会形成机动体系的塑性铰，拉力对钢丝不会产生二次效应。对于钢丝在定半径索槽内的承载力的分析，基于下列3个假定。

(1)索股或钢丝截面符合平截面假定。

由于钢丝的弯曲受到索槽半径的限制，即使外侧纤维的应变超过屈服应变εy,钢丝截面仍符合平截面假定。

(2)符合小变形假定。

虽然钢丝属于柔性构件，但是在局部较小长度具有一定的刚度，最主要的是索鞍或锚靴对钢丝提供了支承约束，避免其发生更大的弯曲变形。

(3)组成索股的各钢丝受力均匀。

AS法架设主缆时，钢丝是分批分层置入索槽的，一根索股纺丝完成后，整体张拉将索股调整到空缆状态，因此可以认为索股的钢丝受力均匀。

3.3应力～应变分析

当直径为d的钢丝绕过锚靴索槽时，内外侧纤维的应变为：

εx(s)=∓d2Ri         (12)εx(s)=∓d2Ri         (12)

在拉力T作用下，钢丝截面的应力及应变的变化如图4所示。在拉力逐渐增加的过程中，钢丝内弧纤维应变εx由最初的压应变逐渐变为拉应变，外弧纤维拉应变εs逐渐增大。两者的应变差与初始纯弯曲状态下相同，即在定半径索槽内钢丝同一截面内的应变增量是相同的。

承受拉力T时，在截面达到屈服应力前，截面内应力为弯曲应力与拉应力叠加，直到外弧纤维达到屈服应力fy。拉力继续增大，达到屈服应力范围内的截面承受后续拉力的能力减少，但变形继续增加，拉力达到某一值后，内弧纤维由弯曲产生的压应力变为0,此时的拉力称为消压拉力Tt。拉力继续增加，内弧纤维由压应变转为拉应变，直到内弧纤维达到屈服应力，则全截面屈服，应变增长很快，此时的拉力称为塑性拉力Tp。当最外侧纤维达到极限拉应变εu时，钢丝断裂，达到极限状态，此时的拉力为最大抗拉力TR。

图4 钢丝应变～应力变化示意

在钢丝绕过锚靴索槽时，钢丝内外侧纤维的应力分别为：

σw=∓Ed2Ri        ε≤εy         (13)σw=∓(σy+E1(d2Ri−εy)) ε>εy         (14)σw=∓Ed2Ri        ε≤εy         (13)σw=∓(σy+E1(d2Ri-εy)) ε>εy         (14)

在弹性范围内时，相当于钢丝内存在初始名义弯矩M0:

M0=EIRi=Eπd464Ri         (15)Μ0=EΙRi=Eπd464Ri         (15)

特殊地，当σw=σy时，相当于作用在钢丝内的初始名义弯矩My为：

My=EIRi=Eπd464Ri=πd332Riσy         (16)Μy=EΙRi=Eπd464Ri=πd332Riσy         (16)

4 弯曲半径对承载能力的影响

4.1不考虑屈后强度的影响

不考虑屈后强度时，按截面纤维全部进入屈服即为破坏的原则，计算缆索的破断力(抗拉能力)。随着拉力的增加，当最内侧纤维的拉应变达到εy时，钢丝全截面进入塑性状态，截面上的拉应力均为σy,如图4(B)所示，截面内不存在弯曲应力。这说明钢丝在部分截面进入塑性后，弯矩随着拉力的增大逐渐减小，直至全塑性后弯矩消除，类似于假性塑性铰，不产生弯曲变形，仅产生较大的轴向拉伸。抗拉承载力在弯曲状态下没有减小，钢丝的破断力与轴心受拉的相同，见式(17)。

Tu=σyA (17)

分以下两种情况讨论锚靴的最小半径。

(1)当最外侧纤维达到断裂时的拉应变εs=εu,对应的最内侧纤维的拉应变为εx=εu-2εy=εp时，以此为条件确定最小锚靴半径。此时，内外侧应变差为屈服应变的2倍，也就是弯曲半径刚刚使截面边缘纤维进入屈服状态。由式(13)可得锚靴的最小半径R0,如式(18)、式(19)所示。

dR0+d/2=εu−εx=2εy         (18)γ=R0d=1−εy2εy         (19)dR0+d/2=εu-εx=2εy         (18)γ=R0d=1-εy2εy         (19)

由式(19)可以看出，锚靴索槽的最小半径R0与钢丝直径d之比γ与材料特性有关，即与屈服应变有关。对于1 670 MPa的钢丝，εy=0.67%,可得锚靴的最小半径R0不小于钢丝直径d的74.13倍。对于1 860 MPa的钢丝，εy=0.745%,可得锚靴的最小半径R0不小于钢丝直径d的66.6倍。随着钢丝强度的提高，γ的最小值减小，即锚靴的半径减小。

(2)当最外侧纤维达到抗拉强度时的拉应变εs=εu,对应的最内侧纤维的拉应变为εx=εy时，以此为条件确定最小锚靴半径。此时，内外侧应变差为塑性应变的2倍，也就是在此弯曲半径下，截面内侧边缘纤维刚刚进入屈服状态，外侧纤维就达到断裂时应变。锚靴的最小半径R0由式(20)、式(21)求得。

dR0+d/2=εu−εy=2εp         (20)γ=R0d=1−εp2εp         (21)dR0+d/2=εu-εy=2εp         (20)γ=R0d=1-εp2εp         (21)

由式(21)可以看出，锚靴索槽的最小半径R0与钢丝直径d之比γ与钢丝的塑性应变有关。假定εp=13.5%,可得锚靴的最小半径R0不小于钢丝直径d的3.2倍，接近于反复弯曲试验要求的3d的要求。如果以规范规定的最小断后伸长率作为塑性应变，则εp=4%,可得锚靴的最小半径R0不小于钢丝直径d的12倍。

比较以上两种情况，偏安全地按第1种情况，即式(19)确定γ值。由式(17)可以看出，按照屈服准则，钢丝或索股绕过锚靴后的抗拉能力没有降低。

4.2考虑屈后强度的影响

实际上，钢丝在屈服后有强度硬化现象，会继续承载更大的拉力直到应力达到最大值(即标准强度)。对于考虑屈后强度的定半径弯曲的钢丝极限承载能力，分下面两种情况进行讨论。

(1)当εs=εx=εu时。

内外侧纤维的应变相等，说明索槽的半径R=∞,由弯曲在钢丝内产生的应力为0,钢丝处于纯受拉状态，全截面应力均达到σu。此时，破断力没有减小。相应地，轴向最大拉力Tu为：

Tu=σuA (22)

(2)当εu>εx≥εy时。

此时全截面进入塑性阶段，截面内外侧纤维的应变分别为εu和εx。外侧纤维相应的应力为σu,内侧纤维的应力σx为：

σx=-(σy+E1(εx-εy)) (23)

内外侧的应力差为σz:

σz=E1dRi         (24)σz=E1dRi         (24)

按照内力平衡的原则，则相当于在钢丝上作用的弯矩Mu为：

Mu=E1IRi=E1πd464Ri         (25)Μu=E1ΙRi=E1πd464Ri         (25)

由式(25)可以看出，在全截面进入塑性后，由于弯曲引起的名义弯矩降低为初始弯矩的E1/E倍。对于1 860 MPa级别的钢丝，名义弯矩降低为初始弯矩的1/21.6。

对应地，轴向最大拉力Tu,w为：

Tu,w=(σu−E1d2Ri)A         (26)ΔT=Tu−Tu,w=E1d2RiA         (27)Τu,w=(σu-E1d2Ri)A         (26)ΔΤ=Τu-Τu,w=E1d2RiA         (27)

令λ=1−ΔTTu         (28)λ=1-ΔΤΤu         (28)

式中：λ为弯曲对钢丝抗拉破断力的影响系数，简称弯曲影响系数。由此得到，

d2Ri=(1−λ)εpσuσu−σy=(1−λ)εpβ         (29)γ=R0d=β2(1−λ)εp−0.5         (30)d2Ri=(1-λ)εpσuσu-σy=(1-λ)εpβ         (29)γ=R0d=β2(1-λ)εp-0.5         (30)

由式(30)可知，λ值随屈后强度比β的增大而减小，强度越高，β越大，则λ值越小。但高强钢丝的β值变化较小，影响不大，偏安全地取值为0.2,则式(30)可简化为：

γ=R0d=110εp(1−λ)−0.5         (31)γ=R0d=110εp(1-λ)-0.5         (31)

弯曲半径与钢丝直径比为70时，弯曲影响系数λ与塑性应变εp的关系如图5所示。由式(31)和图5可知，在定半径索槽内钢丝的破断力由弯曲影响系数λ决定，λ值随塑性应变εp的增大而增大，当εp大于5%时，λ值在0.97以上，即破断力折减不足3%。因此，高强钢丝应具有较好的塑性，以获得较高的λ值。

图5 λ值随塑性应变的变化规律(γ=70)

对弯曲影响系数λ影响大的因素是转向装置索槽半径与钢丝直径之比γ,在塑性应变一定时，λ随着γ增大而增大。弯曲影响系数λ与弯曲半径与钢丝直径之比γ的关系如图6所示，塑性应变εp=13.5%。

图6λ值随γ值的变化规律(εp=13.5%,β=0.2)

由式(31)和图6可以看出，弯曲影响系数λ随弯曲半径与钢丝直径之比γ的增大而增大。在εp=13.5%时，当γ值为65时，弯矩影响系数λ值为0.988 7,破断力下降1.13%;当γ值为70时，弯矩影响系数λ值为0.989 5,破断力下降1%。

如果以规范规定的最小断后伸长率作为塑性应变，即εp=4%,当γ值为70时，破断力下降3.55%。 以上分析是以索槽最下层的单根钢丝为基础进行的。实际上，钢丝是分层布置在索槽内，上层钢丝的弯曲半径逐渐增大，折减率随之减小。由于索股是整体受力的，因此可取索股中心的弯曲半径作为索股钢丝弯曲的平均值。

以阳宝山大桥为例，在锚靴索槽内布置了8层，采用加权平均的方法可求得：当底层钢丝的γ值为70时，索股钢丝的平均γ值为73.4。则εp=4%时，破断力下降3.4%,在缆索材料分项系数为1.85时具有足够的安全度。因此，转向装置弯曲半径与钢丝直径之比γ的最小值取70。

由上述分析可知，主缆钢丝绕过转向装置时存在弯曲应力，对破断力有一定的影响。但试验得到的结果是，钢丝的断裂并未发生在转向装置的索槽内，而是发生在直线段，这可能与以下因素有关：

(1)钢丝的塑性比规范规定更好；

(2)主缆钢丝为Ⅰ级松弛，松弛作用使钢丝中初始名义弯曲应力消除一部分；

(3)钢丝与钢丝之间、边钢丝与索槽之间存在挤压力，当某一根钢丝发生比相邻钢丝更大的应变时，挤压力将产生摩阻力，起到约束和锚固作用。

5 结语

主缆钢丝绕过固定半径的转向装置时存在不容忽视的弯曲应力。通过分析索股及钢丝在索槽内的受力和应力～应变变化情况，将钢丝的本构关系简化为双折线强化模型，按照屈服破坏准则和断裂破坏两种方法分析了锚靴半径对缆索承载能力的影响，得到以下结论。

(1)按照屈服准则，钢丝或索股绕过锚靴等转向装置后的抗拉能力没有降低。锚靴索槽的最小半径与钢丝直径之比γ与钢丝的屈服应变有关，随着钢丝强度的提高，γ的最小值减小。

(2)按承载能力极限状态分析，转向装置弯曲半径与钢丝直径之比γ值不小于70时，破断力下降不足3.5%,对承载能力影响较小。

(3)在定半径索槽内，钢丝的破断力由弯曲影响系数λ决定，λ值随塑性应变εp的增大而增大。因此，高强钢丝应具有较好的塑性，以获得较高的λ值，从而减小破断力的降低程度。

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